Question

6．已知x²-4x+1=0，求下列各式的值：
（1）x+$\frac{1}{x}$；（2）$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}$．

Answer 1

分析 （1）先通分得到原式=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，再由x²-4x+1=0得到x²+1=4x，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算原式的倒数值，变形$\frac{{x}^{4}+1}{{x}^{2}}$得到（x+$\frac{1}{x}$）²-2，利用（1）中的计算结果得到其值为14，于是得到原式=$\frac{1}{14}$．

解答 解：（1）原式=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，
∵x²-4x+1=0，
∴x²+1=4x，
∴原式=$\frac{4x}{x}$=4；
（2）$\frac{{x}^{4}+1}{{x}^{2}}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=4²-2=14，
所以原式=$\frac{1}{14}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．本题的关键的代数式的变形．