Question

8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上（均不与顶点重合），且∠BCD=120°，∠ECF=60°．
（1）如图1，若AB=AD，求证：△AEC≌△BFC；
（2）如图2，若AB=2AD，过点C作CM⊥AB于点M，求证：①AC⊥BC；②AE=2FM；
（3）如图3，若AB=3AD，试探究线段CE与线段CF的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出∠D=∠B=60°，证出△ABC、△ACD均为等边三角形，得出∠B=∠CAD=∠ACB=60°，BC=AC，证出∠BCF=∠ACE，由ASA证明△AEC≌△BFC即可；
（2）①求出∠BCM=30°，得出BC=2BM，设BM=x，则BC=2x，由勾股定理得出CM=$\sqrt{3}$x，得出AB=2AD=2BC=4x，由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}+3{x}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，由勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°即可；
②证出∠MCF=∠ACE，∠CAE=90°，证明△ACE∽△MCF，得出$\frac{AE}{FM}$=$\frac{AC}{CM}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{\sqrt{3}x}$=2，即可得出结论；
（3）作CN⊥AB于点N，CH⊥AD于点H，CH与AB交于点M，证出∠HAM=∠MCN，由平行四边形的性质得出∠HAM=∠MCN=60°，求出∠ECH=∠FCN，证明△CFN∽△CEH，得出$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CN}{CH}$，由平行四边形的面积关系得出CH=3CN，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=∠B=60°，AB=CD，AD=BC，
∵AB=AD，
∴△ABC、△ACD均为等边三角形，
∴∠B=∠CAD=∠ACB=60°，BC=AC，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCF=∠ACE，
在△AEC和△BFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAE}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BFC（ASA）；
（2）证明：①∵CM⊥AB，∠B=60°，
∴∠BCM=30°，
∴BC=2BM，
设BM=x，则BC=2x，CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∴AB=2AD=2BC=4x，
∴AM=3x，
∵CM⊥AB，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}+3{x}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；
②∵AC⊥BC，∠BCM=30°，
∴∠ACM=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
∵AC⊥BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAE=90°，
∴∠CMF=∠CAE=90°，
∴△ACE∽△MCF，
∴$\frac{AE}{FM}$=$\frac{AC}{CM}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{\sqrt{3}x}$=2，
∴AE=2FM；
（3）解：作CN⊥AB于点N，CH⊥AD于点H，CH与AB交于点M，如图所示：
∴∠HAM+∠AMH=∠NCM+∠CMN=90°，
∵∠AMH=∠CMN，
∴∠HAM=∠MCN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠HAM=∠MCN=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠ECH=∠FCN，
∴△CFN∽△CEH，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CN}{CH}$，
∵平行四边形ABCD的面积=AB•CN=AD•CH，AB=3AD，
∴CH=3CN，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CN}{CH}$=$\frac{1}{3}$，
∴CE=3CF．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．