Question

13．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB，AE⊥AC．
（1）图中，等于30°的角有∠B，∠C，∠BAE，∠CAD，等于60°的角有∠ADE，∠AED，∠EAD；
（2）△ADE是等边三角形吗？为什么？
（3）在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=$\frac{1}{2}$BD；
（4）把上面（3）所得到的结论用一句话概括出来在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一边．

Answer 1

分析 （1）因为AB=AC，∠BAC=120°，可求出∠B，∠C的度数为30°，AD⊥AB，AE⊥AC，可求出∠BAE=∠CAD=30°，根据三角形的内角和得到∠ADE=∠AED=60°，∠EAD=60°；
（2）根据等边三角形的判定定理：三个角是60°的三角形是等边三角形即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论；
（4）根据（3）中的结论可得．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AE⊥AC，AD⊥AB，
∴∠CAE=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD=30°，
∴等于30°的角有∠B，∠C，∠BAE，∠CAD，
∵∠CAE=∠BAD=90°，∠B=∠C=30°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠EAD=60°，
∴等于60°的角有∠ADE，∠AED，∠EAD，
故答案为：∠B，∠C，∠BAE，∠CAD，∠ADE，∠AED，∠EAD；

（2）△ADE是等边三角形
∵∠B=∠C=30°，AD⊥AB，AE⊥AC．
∴∠ADB=∠AEC=60°，
∴∠ADB=∠AEC=∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形；

（3）在Rt△ABD中，由（1）得∠B=30°，
∵∠B=∠BAE，
∴BE=AE，
由（1）得∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，
∴AD=BE=DE，
∴AD=$\frac{1}{2}$BD，
故答案为：30°，$\frac{1}{2}$；

（4）把（3）所得到的结论用一句话概括出来是：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一边．
故答案为：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一边．

点评 本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形，直角三角形的性质在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一边，熟练掌握各定理是解题的关键．