零售商小张获得了某公司为期60天的新产品销售权.已知该产品的成本为35元/件.经调查.此商品在第x天的销售量p件与销售天数x的关系如下表:x(天)123-60p(件)19819619480销售单位q与x满足:当1≤x＜45时.q=x+55,当45≤x≤60时.q=35+$\frac{2925}{x}$．(1)请分析表格中销售量p与x的关系.请直接写出销售� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．零售商小张获得了某公司为期60天的新产品销售权，已知该产品的成本为35元/件，经调查，此商品在第x天的销售量p件与销售天数x的关系如下表：

x（天）	1	2	3	…	60
p（件）	198	196	194		80

销售单位q（元/件）与x满足：当1≤x＜45时，q=x+55；当45≤x≤60时，q=35+$\frac{2925}{x}$．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，请直接写出销售量p与x的关系；
（2）请求出这60天内小张获得的最大日销售利润；
（3）为调动零售商积极性，公司在销售开始的前45天内，每售出一件商品，公司返m（m≥10）元给零售商，通过调查发现，当x≤30时，小张获得返现后的日销售利润随x的增大而增大，求m的取值范围．

分析（1）由表格可以看出销售量p件与销售的天数x成一次函数，设出函数解析式，进一步代入求得答案即可；
（2）利用利润=售价-成本，分别求出在1≤x＜45和45≤x≤60时，求得y与x的函数关系式；再根据函数的性质求得最大值，然后比较两者的大小得出答案即可；
（3）列式表示前30天中每天公司返m（m≥10）元给零售商的日销售利润，根据函数性质求m的取值范围．

解答解：（1）设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，
代入（1，198），（2，196）得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=198}\\{2k+b=196}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$，
因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=-2x+200；

（2）设日销售利润为y，
当1≤x＜45时，q=x+55，
y=（x+55-35）（-2x+200）=-2x²+160x+4000=-2（x-40）²+7200，
∵-2＜0，
∴当x=40时，y有最大值y₁，且y₁=7200，
当45≤x≤60时，q=35+$\frac{2925}{x}$，
y=（35+$\frac{2925}{x}$-35）（-2x+200）=$\frac{585000}{x}$-5850；
∵585000＞0，
∴y随x的增大而减小，
当x=45时，$\frac{585000}{x}$最大，
于是，x=45时，y=$\frac{585000}{x}$-5850有最大值y₂，且y₂=13000-5850=7150．
∵y₁＞y₂，
∴这60天内小张获得的最大日销售利润为7200元；

（3）当x≤30时，y=（x+55-35+m）（-2x+200）=-2x²+2（80-m）x+4000+200m，
对称轴x=40-$\frac{1}{2}$m，
∵a=-2，图象开口向下，
∴当x≤40-$\frac{1}{2}$m时，y随x的增大而增大，
又x≤30，
∴40-$\frac{1}{2}$m≥30，
解得m≤20，
∴m的取值范围是10≤m≤20．

点评本题考查了一次函数、二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．

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