Question

（2012•河源）（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两根为x₁、x₂；求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据求根公式得出x₁、x₂的值，再求出两根的和与积即可；
（2）把点（-1，-1）代入抛物线的解析式，再由d=|x₁-x₂|可知d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4 x₁•x₂=p²，再由（1）中 x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q即可得出结论．

解答：证明：（1）∵a=1，b=p，c=q
∴△=p²-4q
∴x=

-p± p2-4q

2

即x₁=

-p+ p2-4q

2

，x₂=

-p- p2-4q

2

∴x₁+x₂=

-p+ p2-4q

2

+

-p- p2-4q

2

=-p，
x₁•x₂=

-p+ p2-4q

2

•

-p- p2-4q

2

=q；

（2）把（-1，-1）代入y=x²+px+q得1-p+q=-1，
所以，q=p-2，
设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）
∵d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=p²-4q=p²-4p+8=（p-2）²+4
当p=2时，d²的最小值是4．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q是解答此题的关键．