Question

A是直线l外一点，且A到直线l的距离AO=10，P是AO上一点，以A为圆心，AP为半径作圆，过O作⊙A的切线OB，切点为B，延长BP交l于C．
（1）证明：OB=OC；
（2）若PC=4

5

，求半径AB的长；
（3）作O关于直线BC轴对称点为O′，若O′恰好落在⊙A上，求此时

BO

的弧长．

Answer 1

分析：（1）由AB=AP，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等得到∠1=∠2=∠3，由BO为圆A的切线，及AO垂直于l，利用切线的性质及垂直的定义得到一对角为直角，利用等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）设AB=r，在直角三角形AOB中，由AO=10，利用勾股定理表示出BO，由AO-AP表示出OP，再由PC的长，利用勾股定理表示出OC，由OB=OC列出方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径；
（3）根据题意作出相应的图形，如备用图所示，由对称性得到一对内错角相等，利用内错角相等得到BO′平行于l，由AO垂直于BO′，利用垂径定理得到AP平分BO′，求出∠AOB为30度，进而求出∠BAO′为120度，根据AO长求出AB的长，利用弧长公式即可求出所求．

解答：（1）证明：∵AB=AP，
∴∠1=∠2=∠3，
∵BO为圆的切线，
∴∠1+∠OBC=90°，
∵AO⊥l，
∴∠3+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC；

（2）解：设半径AB=r，则在Rt△AOB中，OA=10，
根据勾股定理得：OB²=10²-r²，
同理得到：OC²=（4

5

）²-（10-r）²，
由（1）得：10²-r²=（4

5

）²-（10-r）²，
解得：r=6；

（3）解：∵∠OBC=∠O′BC=∠OCB，
∴BO′∥OC，
∵AO⊥OC，
∴BO′被AP平分，
∴∠AOB=30°，
∴AB=5，∠BAO′=120°，
∴BO′的弧长为

120π×5

180

=

10π

3

．

点评：此题考查切线的性质，勾股定理，弧长的计算，平行线的判定，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．