分析:(1)由CA=CB,且CH垂直于AB,利用三线合一得到CH为角平分线,再由OD垂直于AC,OE垂直于CB,利用角平分线定理得到OE=OD,利用切线的判定方法即可得证。
(2)由CA=CB,CH为高,利用三线合一得到AH=BH,在直角三角形ACH中,利用勾股定理求出CH的长,由⊙O过H,CH垂直于AB,得到⊙O与AB相切,由(1)得到⊙O与CB相切,利用切线长定理得到BE=BH,如图所示,过E作EF垂直于AB,得到EF与CH平行,得出△BEF∽△BCH,由相似得比例,求出EF的长,由BH与EF的长,利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积;根据EF与BE的长,利用勾股定理求出FB的长,由BH﹣BF求出HF的长,利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值。
解:(1)证明:∵CA=CB,点O在高CH上,∴∠ACH=∠BCH。
∵OD⊥CA,OE⊥CB,∴OE=OD。
又∵OD为⊙O的半径,∴⊙O与CB相切于点E。
(2)∵CA=CB,CH是高,∴AH=BH=
AB=3。
∴
,
∵点O在高CH上,⊙O过点H,∴圆O与AB相切于H点。
由(1)得⊙O与CB相切于点E,∴BE=BH=3。
如图,过E作EF⊥AB,则EF∥CH,∴△BEF∽△BCH。
∴
,即
,解得:
。
∴
。
在Rt△BEF中,
,∴
。
∴
。