Question

7．如图，等边△ABO在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）的图象经过AB边的中点D，交OB边于点E．
（1）求直线OB的函数解析式；
（2）求k的值；
（3）若函数y=$\frac{m}{x}$的图象与△DEB没有交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=AC=2，根据等边三角形的性质求得OC和BC的长，即可全等B的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据中点的性质求得中点的坐标，代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数），即可求得k的值，
（3）求得E的坐标，然后假设经过B（2，2$\sqrt{3}$），D（3，$\sqrt{3}$），E（$\sqrt{3}$，3）时，求得m的值，即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△ABO是等边三角形，点A的坐标为（4，0），
∴OC=AC=2．
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$），
设直线OB的函数解析式y=mx，则2$\sqrt{3}$=2m，
∴m=$\sqrt{3}$．
∴直线OB的函数解析式为y=$\sqrt{3}$x；
（2）∵D为AB的中点，
∴D（3，$\sqrt{3}$）
∴k=3$\sqrt{3}$；
（3）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴E（$\sqrt{3}$，3），
∵B（2，2$\sqrt{3}$），D（3，$\sqrt{3}$）
假设经过B（2，2$\sqrt{3}$）时，m=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$
假设经过D（3，$\sqrt{3}$）时，m=3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
假设经过E（$\sqrt{3}$，3）时，m=3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴若函数y=$\frac{m}{x}$的图象与△DEB没有交点，m＞4$\sqrt{3}$或m＜3$\sqrt{3}$且m≠0．

点评 本题考查了等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据等边三角形的性质求得B的坐标是解题的关键．