Question

【题目】如图．在平面直角坐标系中．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）．已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P．交BC于点F．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值；

（3）是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝2或4；（3）存在，m的值为0或3．

【解析】

（1）把点A、点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）设点E的坐标为（m，0），则点F的坐标为（m，m﹣2），PE=2EF，即：m﹣2m2m+2=2（2m），即可求解；

（3）当△BEP与△ABC相似，分∠EPB=∠CAB或∠EPB=∠ABC两种情况，求解即可．

抛物线过点C，则其表达式为：yx2+bx﹣2，

将点A坐标代入上式得：0b﹣2，

解得：b，

故：抛物线的表达式为：yx2x﹣2；

设直线BC过点C（0，﹣2），设其表达式为：y=kx﹣2，

将点B坐标代入上式得：0=4k﹣2，

解得：k，则直线BC的表达式为：yx﹣2，

同理直线AC的表达式为：y=﹣2x﹣2，

设点E的坐标为（m，0），则点F的坐标为（m，m﹣2），

当线段EF，PF的长度比为1：2时，即：PE=2EF，则：m﹣2m2m+2=2（2m），解得：m=2或4；

直线BC的表达式为：yx﹣2，直线AC的表达式为：y=﹣2x﹣2，则：BC⊥AC，当△BEP与△ABC相似，则∠EPB=∠CAB，或∠EPB=∠ABC，

即：tan∠EPB=tan∠CAB，或tan∠EPB=tan∠ABC，

当tan∠EPB=tan∠CAB时，即：，

解得：m=0或4（舍去m=4），

同理，当tan∠EPB=tan∠ABC，m=3或4（舍去m=4）．

故存在，m的值为0或3．