Question

3．在梯形ABCD中，AB∥CD，EF过对角线交点O，且点E在CD上，点F在AB上，如果EO：OF=1：2，那么S_△COD：S_△AOB=1：4，S_△COD：S_△ABC=1：6．

Answer 1

分析 如图，由AB∥CD，得到△COE∽△AOF，求出$\frac{OC}{AO}=\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{2}$，由于△COD∽△ABO，得到S_△COD：S_△AOB=（$\frac{OC}{OA}$）²=$\frac{1}{4}$，$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{3}$，于是得到结论．

解答 解：如图，∵AB∥CD，
∴△COE∽△AOF，
∴$\frac{OC}{AO}=\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{2}$，
∵△COD∽△ABO，
∴S_△COD：S_△AOB=（$\frac{OC}{OA}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{4}$S_△AOB，
∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$S_△ABC，
∴S_△COD：S_△ABC=1：6，
故答案为：1：4，1：6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质以及三角形面积的计算方法；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．