Question

10．（1）如图（1），利用平行线的性质定理证明：∠GOB=∠GPB+∠B．
（2）如图（2），已知AB∥CD，∠ABP=30°，G是CD上的一个动点，PQ平分∠BPG，GM平分∠CGP，GN∥PQ．下列结论：①∠CGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择，并求出这个不变的值．

Answer 1

分析 （1）在图（1）中，过点O作EF∥PB，根据平行线的性质可得出∠GOE=∠P、∠EOB=∠B，结合∠GOB=∠GOE+∠EOB即可证出结论；
（2）结论②正确，由AB∥CD结合（1）结论可得出∠CGO=∠GOB=∠OPB+∠B，根据角平分线的定义可得出∠MGP=$\frac{1}{2}$（∠OPB+∠B）、∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠OPB，由GN∥PQ可得出∠NGP=∠GPQ，再根据∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得出∠MGN的度数不变．

解答 （1）证明：在图（1）中，过点O作EF∥PB．
∵EF∥PB，
∴∠GOE=∠P，∠EOB=∠B，
∴∠GOB=∠GOE+∠EOB=∠P+∠B．
（2）解：结论②正确，证明如下：
∵AB∥CD，∠GOB=∠OPB+∠B，
∴∠CGO=∠GOB=∠OPB+∠B．
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠CGP，
∴∠MGP=$\frac{1}{2}$CGO=$\frac{1}{2}$（∠OPB+∠B），∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠OPB．
∵GN∥PQ，
∴∠NGP=∠GPQ，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=$\frac{1}{2}$（∠OPB+∠B）-$\frac{1}{2}$∠OPB=$\frac{1}{2}$∠B=15°．
（结论①不正确的理由，随着点G的运动∠CGP是变化的，而∠MGN的度数不变，由此得出结论①不正确）

点评 本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出∠GOE=∠P、∠EOB=∠B；（2）根据平行线的性质结合角平分线的定义，找出∠MGN=∠MGP-∠NGP=$\frac{1}{2}$∠B=15°．