Question

10．如图，△ABC中，∠C=90°，tanB=$\frac{2}{3}$，AC=2，点D，E分别在BC，AB上，BE=BC，若DE把△ABC的面积平分，则DE=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 根据三角函数的定义得到BC=3，由已知条件得到BE=BC=3，过D作DF⊥AB于F，由DE把△ABC的面积平分，得到S_△BDE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，求得DF=$\frac{1}{2}$AC=1，通过△BDF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BF}{BC}=\frac{DF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，求得BF=$\frac{3}{2}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，tanB=$\frac{2}{3}$，AC=2，
∴BC=$\frac{AC}{tanB}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=3，
∴BE=BC=3，
过D作DF⊥AB于F，
∵DE把△ABC的面积平分，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$BE•DF=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC•AC$，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵∠DFB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BDF∽△ABC，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{DF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$，
∴DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．