Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

 

Answer 1

解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8    ∴OQ=8－t

∴S_△OPQ＝（0＜t＜8）

(2) ∵S_{四边形OPBQ}＝S_矩形ABCD－S_△PAB－S_△CBQ

＝＝32   

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32       

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°

    又∵BQ与AO不平行    ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ

∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP

∴解得：t＝4    

经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）

此时P（，0）

∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，

∴抛物线是，直线BP是：

设M（m, ）、N(m，)

∵M在BP上运动   ∴

∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P

∴当时，            

∴＝  ∴当时，MN有最大值是2

∴设MN与BQ交于H 点则、

∴S_△BHM＝＝

∴S_△BHM ：S_{五边形QOPMH}＝＝3:29

∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．