Question

已知：如图，边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上运动，但与A、C两点不重合，连接AD并延长交BC的延长结于P．
（1）则⊙O的半径为_________；
（2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式y=_________，自变量x的取值范围为_________；
（3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过O作OOE⊥于E，连接OA
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=
∴
∴OA=2；
（2）连接CD，则∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴
∴AC²=AD·AP
∴y==（0＜x＜2）；
（3）假设D点在运动的过程中存在这样的位置，使得△DBP成为以DB，DP为腰的等腰三角形，那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60°，∠CDP=∠ABC=60°
∴∠BDC=∠CDP
∵CD⊥BP
∴DB是圆的直径，BD=4，DP=4
∵DP=AP﹣AD=y﹣x=﹣x=4
即x²+4x-12=0
∵△=4²﹣4 ×（-12）=64＞0
∴关于x的方程x²+4x-12=0有两个不相等的实根，说明假设成立
∴x₁=2，x₂=-6（线段不能为负，舍去）
∴D点在运动的过程中存在这样的位置：即当AD=2时，△BDP成为以BD，PD为腰的等腰三角形。