Question

（2012•雅安）在直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．
（1）若点P的坐标为（-1，4），求此时抛物线的解析式；
（2）若点P的坐标为（-1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB+QP取得最小值为5；
（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据顶点设出抛物线顶点式解析式为y=a（x+1）²+4，然后把点A的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点P关于y轴的对称点P′，连接BP′交y轴于点Q，则QB+QP最小，即QB+QP′最小，再根据抛物线的对称性求出点B的坐标，然后求出AB，再Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可得到k的值；
（3）根据△BOQ和△BAP′相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OQ的值，即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）∵顶点P的坐标为（-1，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）²+4，
将点A（1，0）坐标代入，得a（1+1）²+4=0，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）²+4（或y=-x²-2x+3）；

（2）作点P关于y轴的对称点P′（1，k），连接BP′交y轴于点Q，
所以，QP=QP′，
点Q即为所求的使QB+QP取得最小值时的点，
∵点A（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴点B（-3，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
∵QB+QP取得最小值为5；
∴BP′=QB+QP′=QB+QP=5，
在Rt△ABP′中，AB²+AP′²=BP′²，
即4²+k²=5²，
解得k=3或k=-3，
∵k＜0，
∴k=-3；

（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′，
∴

BO

BA

=

OQ

AP′

，
即

3

4

=

OQ

3

，
∴OQ=

9

4

．
所以Q点的坐标为（0，-

9

4

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，（1）利用顶点式解析式形式求解比较简单，（2）找出点P关于y轴的对称点P′确定出点Q的位置是解题的关键．