Question

在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞x2-（2k+1）x+4（k-12）=0x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0的两个实数根，则△ABC的周长为

10

．

Answer 1

分析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b，c的值；再利用a为腰，则b，c必定有一个值为4，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．

解答：解：∵在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0有两个实数根，
∴当b=c，则△=（2k+1）²-4×4（k-

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2

）=0，即4k²-12k+9=0；
解得：k=1.5，此时x₁=x₂=2，
①当a为底，b，c为腰时，则2+2=4，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a，c为腰时，则x²-（2k+1）x+4（k-

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2

）=0将a=4代入得出：k=2.5，
整理得出：x²-6x+8=0
解得：x₁=2，x₂=4，
∵2+4＞4，
∴能够构成三角形；
此时△ABC的周长为：4+4+2=10．
故答案为：10．

点评：此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．