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(1997•四川)已知:如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,C是弧AB的中点,弦CE∥BD,交AB于点F.求证:AE•FP=AF•CP.
分析:由CE与BD平行,利用平行弦所夹的弧相等得到弧BC=弧DE,由C为弧AB的中点,得到一对弧相等,等量代换得到弧AC与弧DE相等,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对对顶角相等,利用两对角相等的两三角形相似,得到三角形AEF与三角形PCF相似,由相似得比例,变形后即可得证.
解答:证明:∵弦CE∥BD,
BC
=
DE

AC
=
BC

AC
=
DE

∴∠E=∠C,
又∵∠AFE=∠PFC,
∴△AEF∽△PCF,
AE
CP
=
AF
PF

∴AE•FP=AF•CP.
点评:此题考查了圆周角定理,相似三角形的判定与性质,以及圆心角、弦、弧之间的关系,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.
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