精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图甲,已知在⊙O中,AB=,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30度.
(1)连接BC,CD,请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形?试说明理由;
(2)若用扇形OBD围成一个圆锥侧面,请出这个圆锥的底面圆的半径;
(3)如图乙,若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”,其余条件不变,以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH,顶点G、H在⊙O的劣弧上,GH交OC于点E.试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)

【答案】分析:(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明,由AC⊥BD,根据垂径定理可知:BF=FD,故只需证明OF=CF.在Rt△ABF中,已知∠A和AB,可将BF,AF的长求出;在Rt△BOF中,运用勾股定理可将半径OB及OF求出,根据CF=2OB-AF可将CF求出,根据OF=CF,BF=FD,BD⊥OC,可证四边形OBCD为菱形;
(2)已知扇形BOD的圆心角和半径,代入l弧长=进行求解,再根据底面周长:2πr=l弧长,可求出圆锥底面的半径;
(3)作辅助线,连接OH,S阴影=S扇形OBD-S△BOD-S下矩形,S扇形=lR,S△BOD=OB2,代入数据可将扇形AOB和△BOD的面积求出,由M、N是△OBD的中位线,可知MN=BD,在Rt△OEH中,根据勾股定理可求出OE,又OF=OB,可得EF=OE-OF,故:S下矩形=MN×EF,从而可将阴影部分的面积求出.
解答:解:(1)四边形OBCD是菱形.
如图丙,∵AC⊥BD,AC是直径,
∴AC垂直平分BD.
∴BF=FD,
∴∠BAD=2∠BAC=60°,
∴∠BOD=120°.
∵BF=AB=2
在Rt△ABF中,
AF====6.
在Rt△BOF中,
∴OB2=BF2+OF2.即
解得:OB=4.
∵OA=OB=4,
∴OF=AF-AO=6-4=2,
∵AC=2OA=8,
∴CF=AC-AF=8-6=2,
∴CF=OF,
∵BF=FD,AC⊥BD,
∴四边形OBCD是菱形;

(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr.
∵扇形OBD的弧长=π•4=π,

解得:r=

(3)如图丁,连接OH.
∵∠A=22.5°,
∴∠BOC=45°,
∵∠BOD=∠BOC=90°,OB=OD=4,
∴BD=OB=4
∴OF=BD=2
∵M、N是OB、OD的中点,
∴MN=BD=×4=2
∵四边形MNGH是矩形,
∴MN=GH=2,EH=EG=MN=
在Rt△HOE中,OE2=OH2-HE2,即OE2=42-(2
解得:OE=
∴EF=OE-OF=-2
∵扇形OBD的面积==××4=
∴图中阴影部分的面积=-×4×4-(-2)×2=-8-+8
=-
点评:本题综合考查菱形的判定定理,垂径定理的应用,弧长的计算,扇形面积的求法等知识点,求不规则的图形的面积,可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

26、如图甲,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)说明△ADC≌△CEB.
(2)说明AD+BE=DE.
(3)已知条件不变,将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时,若DE=3、AD=5.5,则BE=
2.5

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图甲,已知在⊙O中,AB=4
3
,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30度.
(1)连接BC,CD,请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形?试说明理由;
(2)若用扇形OBD围成一个圆锥侧面,请出这个圆锥的底面圆的半径;
(3)如图乙,若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”,其余条件不变,以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH,顶点G、H在⊙O的劣弧
BD
上,GH交OC于点E.试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图甲,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)说明△ADC≌△CEB.
(2)说明AD+BE=DE.
(3)已知条件不变,将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时,若DE=3、AD=5.5,则BE=________.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图甲,已知在⊙O中,AB=数学公式,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30度.
(1)连接BC,CD,请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形?试说明理由;
(2)若用扇形OBD围成一个圆锥侧面,请出这个圆锥的底面圆的半径;
(3)如图乙,若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”,其余条件不变,以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH,顶点G、H在⊙O的劣弧数学公式上,GH交OC于点E.试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2011-2012学年新人教版九年级(上)期末复习检测数学试卷(一)(解析版) 题型:解答题

如图甲,已知在⊙O中,AB=,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30度.
(1)连接BC,CD,请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形?试说明理由;
(2)若用扇形OBD围成一个圆锥侧面,请出这个圆锥的底面圆的半径;
(3)如图乙,若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”,其余条件不变,以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH,顶点G、H在⊙O的劣弧上,GH交OC于点E.试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)

查看答案和解析>>

同步练习册答案