Question

如图，直线AB：y=-x-b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）直线EF：y=2x-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将点A（6，0）代入直线AB的解析式，可得b的值，继而可得点B的坐标；
（2）设BC的解析式是y=ax+c，根据B点的坐标，求出C点坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；
（3）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°，有题目的条件证明△NFD≌△EDM，进而得到FN=ME，联立直线AB：y=-x-b和y=2x-k求出交点E和F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值；

解答：解：（1）将点A（6，0）代入直线AB解析式可得：0=-6-b，
解得：b=-6，
∴直线AB 解析式为y=-x+6，
∴B点坐标为：（0，6）．


（2）∵OB：OC=3：1，
∴OC=2，
∴点C的坐标为（-2，0），
设BC的解析式是y=ax+c，代入得；

-2a+c=0 c=6

，
解得：

a=3 c=6

，
∴直线BC的解析式是：y=3x+6．

（3）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME，
联立得

y=2x-k y=-x+6

，
解得：y_E=-

1

3

k+4，
联立

y=2x-k y=3x+6

，
解得：y_F=-3k-12，
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴3k+12=-

1

3

k+4，
∴k=-2.4；
当k=-2.4时，存在直线EF：y=2x-2.4，使得S_△EBD=S_△FBD．

点评：本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、两直线的交点及三角形的面积，综合考察的知识点较多，注意基本知识的掌握，将所学知识融会贯通，难度较大．