Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y＝x²上的动点(点在第一象限内)．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

(1)如图1，当m＝时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值；

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；

(2)如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．

①用含m的代数式表示点Q的坐标；

②求证：四边形ODME是矩形．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论． 　　②题干要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO＝OC、QC＝QO两种情况来判断： 　　QO＝QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定； 　　QO＝OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定． 　　(2)①由∠QOP＝90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标； 　　②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证． 　　解答：解：(1)①把x＝代入y＝x2，得y＝2，∴P(，2)，∴OP＝ 　　∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M＝tan∠0PA＝＝． 　　②设Q(n，n2)，∵tan∠QOB＝tan∠POM， 　　∴．∴n＝ 　　∴Q(，)，∴OQ＝． 　　当OQ＝OC时，则C1(0，)，C2(0，)； 　　当OQ＝CQ时，则C3(0，1)． 　　综上所述，所求点C坐标为：C1(0，)，C2(0，)，C3(0，1)． 　　(2)①∵P(m，m2)，设Q(n，n2)，∵△APO∽△BOQ，∴ 　　∴，得n＝，∴Q(，)． 　　②设直线PO的解析式为：y＝kx＋b，把P(m，m2)、Q(，)代入，得： 　　 　　解得b＝1，∴M(0，1) 　　∵，∠QBO＝∠MOA＝90°， 　　∴△QBO∽△MOA 　　∴∠MAO＝∠QOB， 　　∴QO∥MA 　　同理可证：EM∥OD 　　又∵∠EOD＝90°， 　　∴四边形ODME是矩形． 　　点评：考查了二次函数综合题，该题涉及的知识点较多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知识点；(1)②题中，要注意分类进行讨论，以免出现漏解、错解的情况．

提示：

二次函数综合题．