Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦（不是直径），OD⊥AC垂足为G交⊙O于D，E为⊙O上一点（异于A、B），连接ED交AC于点F，过点E的直线交BA、CA的延长线分别于点P、M，且ME＝MF．

（1）求证：PE是⊙O的切线．

（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长．

（3）若PE＝6，sin∠P＝，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.

【解析】

（1）连接OE，根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠D＝∠OED，求得OE⊥PE，于是得到结论；

（2）根据垂径定理得到，求得∠FAD＝∠AED，根据相似三角形的性质得到结论；

（3）设OE＝x，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接OE，

∵OD⊥AC，

∴∠DGF＝90°，

∴∠D+∠DFG＝∠D+∠AFE＝90°，

∴∠DFG＝∠AFE，

∵ME＝MF，

∴∠MEF＝∠MFE，

∵OE＝OD，

∴∠D＝∠OED，

∴∠OED+∠MEF＝90°，

∴OE⊥PE，

∴PE是⊙O的切线；

（2）∵OD⊥AC，

∴，

∴∠FAD＝∠AED，

∵∠ADF＝∠EDA，

∴△DFA～△DAE，

∴，

∴AD2＝DFDE＝2×10＝20，

∴AD＝2；

（3）解：设OE＝x，

∵sin∠P＝，

∴OP＝3x，

∴x2+（6）2＝（3x）2，

解得：x＝3，

过E作EH垂直AB于H，

sin∠P＝，

∴EH＝2，

∵OH2+EH2＝OE2，

∴OH＝1，∴AH＝2，

∵AE2＝HE2+AH2，

∴AE＝2．