Question

【题目】如图，抛物线 经过A（－3,0），C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．

①当t为何值时，点N落在抛物线上；

②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①t=4；②

【解析】试题分析：（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得解；

（2）根据抛物线解析式求出顶点B的坐标，然后根据相似三角形对应边成比例用t表示出PM，再求出NE的长度．①表示出点N的坐标，再根据点N在抛物线上，把点N的坐标代入抛物线，解方程即可得解；

②根据PM的长度表示出QD，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标，从而求出QR的长度，再表示出EC的长度，然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可．

试题解析：解：（1）∵y=ax2+bx+经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，∴，解得： ，∴抛物线的解析式为；

（2）∵=﹣（x2﹣2x+1）+=﹣（x﹣1）2+8，∴点B的坐标为（1，8）．设直线BC的解析式为y=kx+m，则，解得： ，所以直线BC的解析式为y=﹣2x+10．∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，∴BD=8，CD=5﹣1=4．∵PM⊥BD，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BDC，∴，即，解得：PM=t，∴OE=1+t．∴ME=-2(1+t)+10=8-t．．∵四边形PMNQ为正方形，∴NE=NM+ME=8﹣t+t=8﹣t．

①点N的坐标为（1+t，8﹣t），若点N在抛物线上，则﹣（1+t﹣1）2+8=8﹣t，整理得，t（t﹣4）=0，解得t1=0（舍去），t2=4，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；

②存在．理由如下：

∵PM=t，四边形PMNQ为正方形，∴QD=NE=8﹣t．∵直线BC的解析式为y=﹣2x+10，∴﹣2x+10=8﹣t，解得：x=t+1，∴QR=t+1﹣1=t．又∵EC=CD﹣DE=4﹣t，根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，即t=4﹣t，解得：t=，此时点P在BD上，所以，当t=时，四边形ECRQ为平行四边形．