在平面直角坐标系xOy中.已知二次函数的图象与x轴的正半轴交于A .B两点.与y轴交于点C .点A和点B间的距离为2. 若将二次函数的图象沿y轴向上平移3个单位时.则它恰好过原点.且与x轴两交点间的距离为4. (1)求二次函数的表达式, (2)在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P.使点P到B.C两点距离之差最大?若存在.求出点P坐标,若不存在.请说明理由, (3)设二� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图象与x轴的正半轴交于A 、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C .点A和点B间的距离为2，若将二次函数的图象沿y轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x轴两交点间的距离为4.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设二次函数的图象的顶点为D，在x轴上是否存在这样的点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）∵平移后的函数图象过原点且与x轴两交点间的距离为4，

∴平移后的函数图象与x轴两交点坐标为（0，0）,(4,0)或（0，0），（-4，0）

∴它的对称轴为直线x=2或x=-2.

∵抛物线与x轴的正半轴交于A、B两点，

∴抛物线关于直线x=2对称，

∵它与x轴两交点间的距离为2，且点A 在点B的左侧.

∴其图象与x轴两交点的坐标为A（1，0）、B(3,0).

由题意知，二次函数的图象过C（0，-3），

∴设.

（2）∵点B关于直线x=2的对称点为A（1，0）

设直线AC的解析式为

∴直线AC的解析式为

直线AC与直线x=2的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点.

当x=2时，y=3

∴点P的坐标为（2，3） …

（3）在x轴上存在这样的点F，使得DFB=DCB

抛物线的顶点D的坐标为（2，1）

设对称轴与x轴的交点为点E

∵E（2，0），

∴符合题意的点F的坐标为F₁（-1，0）或F₂（5，0）

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