Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE= ，∠C=30°，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）π

【解析】

（1）连接OD，根据等边对等角得出∠ODC=∠C=∠B，进一步得出OD∥AB，再根据DE⊥AB即可得出答案；

（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．

（1）证明：连接OD．

∵OC=OD， AB=AC，

∴∠ODC=∠C=∠B

∴OD∥AB

∠ODE=∠DEB

∵DE⊥AB，

即DE⊥OD．

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，

∵AC为⊙O的直径，

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，BD=CD．

∴∠AOD=60°．

∵DE= ，

∴BD=CD=2 ，

∴OC=2．

∴ π