Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，可得AC＝5，由AE＝可得点F是边BC上的任意位置时，点C始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．所以点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．根据锐角三角函数先求得h的值，再分别求得三角形ACD和三角形ACG的面积即可得结论．

解：如图，连接AC，

在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∠B＝∠D＝90°，

∴AC＝5，

∵AB＝3，AE＝，

∴点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方，

设点G到AC的距离为h，

S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG

＝3×4+×5h，

＝6+h．

要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．

∵点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．

过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，

在Rt△AEH中，AE＝，

sin∠BAC＝，

解得EH＝AE＝，

EG＝BE＝AB﹣AE＝3﹣，

∴h＝EH﹣EG＝﹣（3﹣）＝﹣3．

∴S四边形AGCD＝6+×（﹣3）

＝．

故答案为：．