Question

【题目】已知：直线MN，PQ被射线BA截于A，B两点，且MN∥PQ，点D是直线MN上一定点，C是射线BA上一动点，连结CD，过点C作CE⊥CD交直线PQ于点E．

（1）若点C在线段AB上．

①依题意，补全图形；

②请写出∠ADC和∠CEB的数量关系，并证明．

（2）若点C在线段BA的延长线上，直接写出∠ADC和∠CEB的数量关系，不必证明．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②∠ADC和∠CEB的数量关系：∠ADC+∠CEB=90°；证明见解析；（2）∠ADC+∠CEB=90°或∠CEB-∠ADC=90或∠ADC-∠CEB=90°

【解析】

（1）①连接CD，作CE⊥CD，交PQ于E即可；

②根据两直线平行，内错角相等可知∠DCH=∠ADC，∠ECH=∠CEB，由∠DCH+∠ECH=90°，可知∠ADC+∠CEB=90°；

（2）利用平行线的性质，三角形外角的性质，平角的定义列式即可求得．

（1）①补全图形，如图．

②∠ADC和∠CEB的数量关系：∠ADC+∠CEB=90°．

证明：如图1，过点C作CH∥MN．

∴∠DCH=∠ADC，∠ECH=∠CEB．

∵CD⊥CE，

∴∠DCE=90°，即∠DCH+∠ECH=90°．

∴∠ADC+∠CEB=90°．

（2）如图2①，

∵CE⊥CD，

∴∠1+∠ADC=90°，

∵MN∥PQ，

∴∠1=∠CEB，

∴∠ADC+∠CEB=90°；

如图2②，

∵CE⊥CD，

∴∠1+∠ADC=90°，

∵MN∥PQ，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠CEB=180°，

∴90°-∠ADC+∠CEB=180°，

∴∠CEB-∠ADC=90°；

如图2③，

∵CE⊥CD，

∴∠ECD=90°，

∵MN∥PQ，

∴∠1=∠CEB，

∵∠ADC=∠ECD+∠1，

∴∠ADC=90°+∠CEB

∴∠ADC-∠CEB=90°；

综上，∠ADC和∠CEB的数量关系为：∠ADC+∠CEB=90°或∠CEB-∠ADC=90°或∠ADC-∠CEB=90°．