Question

10．如图，在等边△ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C为圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P，Q两点．
（1）填空：∠DCE=60度，CN=5cm，AM=4$\sqrt{3}$cm；
（2）如图，当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．

Answer 1

分析 （1）利用旋转得出∠BCE=∠ACD，进而用等边三角形的每个内角为60°即可得出∠DCE=60°，再用等边三角形的三线合一的性质得出∠AMC=90°，在用勾股定理即可得出结论；
（2）利用等边三角形的三线合一的性质得出∠CBE=∠CAD=30°，再用垂径定理得出PQ=2HQ，再用含30度角的直角三角形的性质得出CH，最后用勾股定理即可得出HQ．

解答 解：（1）由旋转知，∠BCE=∠ACD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°，
在等边三角形ABC中，AM为BC边上的中线，
∴AM⊥BC，CM=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△MCN中，MN=3，CM=4，根据勾股定理得，CN=$\sqrt{C{M}^{2}+M{N}^{2}}$=5，
在Rt△ACM中，AC=8，CM=4，根据勾股定理得，AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
故答案为：60，5，4$\sqrt{3}$；

（2）如图，∵等边△ABC中，AM是BC边上的中线，
∴AM⊥BC，∠ACB=60°，∠CAD=30°，
由旋转可知：∠CBE=∠CAD=30°，
作CH⊥BE于点H，则PQ=2HQ，
连结CQ，则CQ=CN=5．
在Rt△CBH中，∠CBH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CHQ中，由勾股定理得，HQ=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{H}^{2}}$=3，
∴PQ=2HQ=6．

点评 此题是hi圆的综合题，主要考查了垂径定理，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理；解（1）的关键是判断出∠AMC=90°，解（2）的关键是构造出直角三角形BCH和直角三角形CHQ．