Question

【题目】如图，四个小球分别从正方形的四个顶点处出发（小球的大小忽略不计），以同样的速度分别沿方向滚动，其终点分别是点，顺次连接四个小球所在的位置，得到四边形．

（1）不论小球滚动多长时间，求证；四边形总是正方形；

（2）这个四边形在什么时候面积最大？

（3）在什么时侯四边形的面积为正方形面积的一半？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当在即将出发或到达终点时面积最大，此时；（3）当分别在的中点时，四边形的面积为正方形面积的一半，理由见解析.

【解析】

(1)根据题意得,再结合四边形是正方形，证明，即可证得四边形为正方形；
(2) 根据题意得当在即将出发或到达终点时面积最大；
(3) 当分别在的中点时，四边形的面积为正方形面积的一半．

解：（1）根据题意得．

∵四边形是正方形，

∴°，

∴．

∵在和中，

，

∴，

∴，

∴四边形为菱形，

∴，

∴，

∴四边形为正方形．

（2）根据题意得当在即将出发或到达终点时面积最大，此时．

（3）当分别在的中点时，四边形的面积为正方形面积的一半.

理由如下：

设正方形的边长为，

则根据题意知．

在中，．

由勾股定理，得，

即，解得，

同理可得．

∴当四个小球分别在正方形各边的中点时，四边形的面积为正方形面积的一半．