Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），点B，与y轴交于点C（0，-3），作直线BC．点P是抛物线的对称轴上的一个动点，P点到x轴和直线BC的距离分别为PD、PE．

（1）求抛物线解析式；

（2）当P点运动过程中满足PE=PD时，求此时点P的坐标；

（3）如图2，从点B处沿着直线BC的垂线翻折PE得到FE'，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）点P坐标为（1，2+2）或（1，2-2）；（3）点P坐标为（1，2+）或（1，2-）．

【解析】

（1）由点A、B关于对称轴：直线x=1对称，得B(3，0),再根据待定系数法，即可求解；

（2）易得直线BC解析式为：y=x-3，∠OCB=45°，从而得Q(1，-2)，设P(1，t)，则PD=|t|，PQ=|t+2|，结合PQ=PD，即可求解；

（3）分两种情况：①当点P(1，t)在点Q上方时，②当点P(1，t)在点Q下方时，分别进行求解即可．

（1）∵抛物线与x轴交于点A(-1，0)、点B，

∴点A、B关于对称轴：直线x=1对称，

∴=1，解得：xB=3，

∴B(3，0)

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C(0，-3)

∴ 解得：，

∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；

（2）如图1，记直线BC与对称轴交点为Q，

∵B(3，0)，C(0，-3)，

∴直线BC解析式为：y=x-3，∠OCB=45°，

∴Q(1，-2)，

设P(1，t)，则PD=|t|，PQ=|t+2|

∵PE⊥BC于点E，

∴∠PEQ=90°，

∵PQ∥y轴，

∴∠PQE=∠OCB=45°，

∴Rt△PEQ中，PQ=PE

∵PE=PD，

∴PQ=PD，

∴PQ2=2PD2，

∴（t+2）2=2t2，

解得：t1=2+2，t2=2-2

∴点P坐标为(1，2+2)或(1，2-2)；

（3）①如图2，当点P(1，t)在点Q上方时，t＞-2，

连接PF，过点E作EH⊥PQ于点H，

∵∠PQE=45°，∠PEQ=90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，

∴PH=QH=EH=PQ=，

即点E向左平移个单位、向上平移个单位可得点P，

∴xE=xP+=+2，yE=yP-=-1，即E(+2，-1)，

∵从点B处沿着直线BC的垂线翻折PE得到FE'，

∴FE'⊥BC，FE'=PE，

∴FE'∥PE，

∴四边形PEE'F是平行四边形，

∴EE'∥PF，即EE'向左平移个单位、向上平移个单位可得PF，

∵点B为EE'中点，

∴=xB=3，yE'=-yE=1-，

∴xE'=4-，

∴xF=xE'-=3-t，yF=yE'+=2，即F(3-t，2)，

∵点F在抛物线上，

∴（3-t）2-2（3-t）-3=2，

解得：t1=2+，t2=2-，

②如图3，当点P(1，t)在点Q下方时，t＜-2，

则翻折后点F在直线BC下方，不可能在抛物线上，

综上所述，点P坐标为(1，2+)或(1，2-)．