Question

6．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

Answer 1

分析 （1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）每天的销售利润不低于4000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，以及50≤x≤100，列不等式组即可．

解答 解：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]
=（x-50）（-5x+550）
=-5x²+800x-27500，
所以y=-5x²+800x-27500（50≤x≤100）；
（2）y=-5x²+800x-27500=-5（x-80）²+4500，
∵a=-5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y_最大值=4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；
（3）当y=4000时，-5（x-80）²+4500=4000，
解得：x₁=70，x₂=90，
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，
由每天的总成本不超过7000元，得50（-5x+550）≤7000，解得：x≥82，
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用．数学建模题，借助二次函数解决实际问题．