Question

27、阅读下文，寻找规律：已知x≠1，计算：（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）观察上式，猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

．
证明你的猜想：
（2）根据你的猜想，计算：（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=

-127

．

Answer 1

分析：观察下列各式（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴可以推出（1-x）（1+x+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，即右边项的最大指数等于左边项最大指数，左边的项是对右边项的因式分解，依此规律分别求解．

解答：解：（1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数，且左边相当于对右边的因式分解，
所以得出规律：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
（2）由（1）得出的规律可得
（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=1-2⁷=-127，空白处应填-127；
故答案为：1-xⁿ⁺¹，-127；

点评：本题是规律型的，关键在于根据各式发现规律（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，使等式左右两边的最大指数相同且左边是右边的因式分解的规律．