Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，O为AC的中点，OE⊥OB交BC于点E
（1）当

AC

AB

=2时，求

AF

CE

的值．
（2）当

AC

AB

=1时，

AF

CE

求的值（1，2问要写出解答过程）
（3）当

AC

AB

=n时，求

AF

CE

的值（直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）由

AC

AB

=2，得到AC=2AB，得到AC=2OC，推出AB=OC，利用AAS得出△ABF≌△COE，推出AF=CE，即可求出所求式子的比值；
（2）由

AC

AB

=1，得到AB=AC，过A作AG平行于OE，交BC于点G，求出∠OEC=∠AGC，∠AFB=∠OEC，∠BAD=∠C=45°，利用AAS得出△ABF≌△CGA，推出AF=CG，得到E为CG的中点，即CE为CG的一半，即可求出所求式子的比．
（3）A作AG平行于OE，交BC于点G，证△AFB∽△CGA，推出

CG

AF

=

AC

AB

=n，再CG=2CE，代入求出即可．

解答：解：（1）由

AC

AB

=2，得到AC=2AB，
又∵O为AC的中点，
∴AC=2OC，
∴AB=OC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，
∴∠AFB=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
∵

∠AFB=∠CEO ∠BAD=∠C AB=OC

，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
则

AF

CE

=1；


（2）过A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，
由（1）得∠AFB=∠OEC，
∴∠AFB=∠AGC，
又∵

AC

AB

=1，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
在△ABF和△CGA中，
∵

∠AFB=∠AGC ∠BAD=∠C=45° AB=AC

∴△ABF≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∵CO=

1

2

AC，OE∥AG，
∴CE=GE=

1

2

CG=

1

2

AF，
∴

AF

CE

=2．

（3）

AF

CE

=

2

n

．

点评：本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，证明过程类似．