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(2003•黄石)如图,过Rt△ABC的直角顶点C作圆O,圆O与△ABC的两边AB、BC分别相切于D、C,并交AC边于E.在优弧DE上任取一点F,连接FE、FD,若BC=a,cos∠EFD=
①求证:AD=BD;
②试求∠EDA的大小;
③计算圆O的面积.

【答案】分析:(1)作辅助线,连接CD,由圆周角定理可得∠EFD=∠ECD,在Rt△ACB中,cosA=,cos∠EFD=,可得∠A=∠EFD=∠ECD,AD=CD,可得∠B=∠BCD,故可知CD=BD=AD;
(2)由BC、BD是⊙O的切线,可得BC=BD,而CD=BD,故△BCD为正三角形,∠B=60°,∠A=30°,又∠EDA=∠ECD,故可得∠EDA=∠A=30°;
(3)在Rt△EDC中,∠ECD=30°,可得ED=EC,而ED=EA,可得E为AC的三平分点,根据BC,tanB的值,可求得AC的长,故求得⊙O的半径为AC的长,代入圆的面积公式S=πR2求解即可.
解答:(1)证明:连接CD,则∠EFD=∠ECD
在Rt△ACB中
cosA=
∵cos∠EFD=
∴∠A=∠EFD=∠ECD
∴AD=CD
又∵∠ACD+∠BCD=∠A+∠B=90°∴∠B=∠BCD
∴CD=BD
∴AD=BD.

(2)解:∵BC、BD与⊙O相切
∴BC=BD
∵CD=BD
∴△BCD为正三角形
∴∠B=60°,∠A=30°
又∵∠EDA=∠ECD
∴∠EDA=∠A=30°.

(3)解:在Rt△EDC中
∠ECD=30°
∴ED=EC
∵ED=EA
∴AE=EC
∴E是AC的三等分点
∵BC=a,tanB=
∴AC=a
∴⊙O的半径r=CE=AC=a
∴⊙O的面积为S=πr2=πa2
点评:本题考查了圆的切线性质,圆的面积计算及解直角三角形的知识,解题过程中要注意数形结合.
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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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