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如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).

(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;

(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

 



解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A(﹣2,0),

∴﹣×(﹣2)2+b×(﹣2)+4=0,解得:b=

∴抛物线解析式为 y=﹣x2+x+4,

又∵y=﹣x2+x+4=﹣(x﹣3)2+

∴对称轴为:直线x=3.

(2)在y=﹣x2+x+4中,令x=0,得y=4,∴C(0,4);                

令y=0,即﹣x2+x+4=0,整理得x2﹣6x﹣16=0,解得:x=8或x=﹣2,     (第25题答案图)  

∴A(﹣2,0),B(8,0).

设直线BC的解析式为y=kx+b,

把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得:

解得k=,b=4,

∴直线BC的解析式为:y=x+4.                                                                          (3)∵抛物线的对称轴为:x=3,可设点Q(3,t),则可求得:

AC===

AQ==,                                          

CQ==

i)当AQ=CQ时,

=,解得t=0,∴Q1(3,0);

ii)当AC=AQ时,

=,t2=﹣5,此方程无实数根,∴此时△ACQ不能构成等腰三角形;

iii)当AC=CQ时,

 



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