Question

【题目】已知：如图所示，在平面直角坐标系中，函数（，是常数）的图象经过点、点，其中，直线交轴于点．过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，与相交于点，连接．

(1)若的面积为，求点的坐标；

(2)求证：四边形为平行四边形；

(3)若，求直线的函数解析式．

Answer 1

【答案】(1)点；(2)证明见解析；(3)直线的函数解析式为或．

【解析】

（1）先用待定系数法求出双曲线解析式，再用点B在双曲线上得出ab＝4，再用面积建立方程a（4﹣b）＝4，解方程组即可；

（2）先求出直线AB解析式：y＝﹣bx+b+4，再确定出DE，AC即可得到DE＝AC，从而得出结论；

（3）由（2）知，AB∥CD，结合AD＝BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．分两种情况计算即可．

（1）将A（1，4）代入函数中，得：m＝4，所以y；

∵S△ABDBDAMa（4﹣b）＝4．

∵B（a，b）在函数y的图象上，∴ab＝4，∴a＝3，b，即：点B（3，）；

（2）∵函数y （x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），∴m＝4．

∵B（a，b）在双曲线上，∴ab＝4．

∵直线AB过点A（1，4），B（a，b），且ab=4，设直线AB解析式为y＝ex+f，∴ ，解得：e=－b，f=b+4，∴直线AB解析式为y＝﹣bx+b+4，∴E（0，b+4）．

∵BD⊥y轴，AC⊥x轴，∴D（0，b），∴DE＝b+4﹣b＝4．

∵A（1，4），∴AC＝4，∴DE＝AC．

∵DE∥AC，∴四边形ACDE为平行四边形；

（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b．

∵CD∥AB，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形．

情况1：四边形ABCD为平行四边形，则DM＝MB，∴a﹣1＝1，a＝2，∴B（2，2）．

∵A（1，4）、B（2，2）在直线AB上，∴直线AB解析式为：y＝﹣2x+6；

情况2：四边形ABCD为等腰梯形，则AC＝BD，∴a＝4，∴B（4，1）．

∵A（1，4）、B（4，1）在直线AB上，直线AB解析式为：y＝﹣x+5．

综上所述：直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+6或y＝﹣x+5．