Question

【题目】已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）．

（1）如图，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为B，C，得到矩形ABOC，且抛物线经过点C．

①求抛物线的解析式．

②将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，分别交线段OB，AC于D，E两点．若直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，求m的值．

（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A1（2﹣n，3b），其中n≥1．若平移后的抛物线仍然经过点A，求平移后的抛物线顶点所能达到最高点时的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣2x﹣3；②m＝；（2）顶点坐标（0，﹣7）．

【解析】

（1）①将A（2，﹣3），B（2，0）代入y＝x2+bx+c即可求出；

②因为直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，所以AE＝OD＝m，DB＝CE＝2﹣m，D（m，0），E（2﹣m，﹣3），易知F（3，0），所以DF＝3﹣m，于是3﹣m＝m，从而求出m；

（2）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3），可得y＝x2+bx﹣2b﹣7，由A的对应点为A1（2﹣n，3b），可知抛物线向左平移了n个单位，向上平移（3b+3）个单位，则平移后y＝（x+n）2+b（x+n）﹣2b﹣7+3b+3，整理后根据平移后的抛物线仍然经过点A（2，﹣3），继而可求得b＝﹣n﹣1，进而可求得顶点坐标.

（1）①∵四边形ABOC是矩形，A（2，﹣3），

∴B（2，0），C（0．﹣3），

∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C，

∴， 解得：，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

②如图，设原抛物线与x轴正半轴交于点F，

∵直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，

∴AE＝OD＝m，DB＝CE＝2﹣m

∴D（m，0），E（2﹣m，﹣3）

∵易知F（3，0），

∴DF＝3﹣m，

∵DF＝AE，

∴3﹣m＝m，

∴m＝；

（2）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）．

﹣3＝22+2b+c，

∴c＝﹣2b﹣7，

∴y＝x2+bx﹣2b﹣7，

∵A的对应点为A1（2﹣n，3b），

∴抛物线向左平移了n个单位，向上平移（3b+3）个单位

则平移后y＝（x+n）2+b（x+n）﹣2b﹣7+3b+3，

整理得y＝（x+n）2+b（x+n）+b﹣4＝（x+n+）2﹣+b﹣4，

∵平移后的抛物线仍然经过点A（2，﹣3），

∴﹣3＝（2+n）2+b（2+n）+b﹣4，

∴n2+4n+3+b（3+n）＝0，

∴（n+1（n+3））+b（n+3）＝0，

（n+3）（n+1+b）＝0，

∵n≥1，∴n+3>0，

∴n+1+b＝0，b＝﹣n﹣1，

顶点坐标（﹣n﹣，﹣ +b﹣4），

y顶＝﹣+b﹣4＝﹣（b﹣2）2﹣3＝﹣（n+3）2﹣3，

∵n≥1，-＜0，

∴n＝1时，顶点最高，此时b＝﹣1﹣1＝﹣2，

顶点坐标（0，﹣7）．