分析 由点E、F分别为边AB、AC的中点,可得△GFC的边GF的高=△GFA的边GF的高=△BCG的边BC上的高,从而可得 S△AGC=GF•h,S△BCG=$\frac{1}{2}$BC•h,λ3=2λ1,可得S△BCG=2S△AGC,可求出BC=2EF,即点G为EF的中点,确定S1=S2,由S=S1+S2+S3,可得λ1值,从而得出λ3,λ2的值,代入$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$求解即可.
解答 解:如图:
∵E、F分别为边AB、AC的中点,
∴△GFC的边GF的高=△GFA的边GF的高=△BCG的边BC上的高,
设它们的高为h,
∴S△AGC=S△AGF+S△CGF=$\frac{1}{2}$GF•h+$\frac{1}{2}$GF•h=GF•h,
S△BCG=$\frac{1}{2}$BC•h,
∵△ABC、△AGC、△ABG、△GBC面积分别为S、S1、S2、S3,S1=λ1S,S3=λ3S,且λ3=2λ1,
∴S3=2S1,即S△BCG=2S△AGC,
∴$\frac{1}{2}$BC•h=2GF•h,
∴BC=4GF,
∵BC=2EF,
∴点G为EF的中点,
∴S△EGA=S△AGF,S△EGB=S△GFC
∴S1=S2,
∵S=S1+S2+S3,即S=λ1S+λ2S+λ3S=4λ1S,
∴λ1=$\frac{1}{4}$,
∴λ3=$\frac{1}{2}$,λ1=λ2=$\frac{1}{4}$,
$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$=4+8+6=18.
故答案为:18.
点评 本题主要考查了面积及等积变换,解题的关键是正确的求出点G在EF上的位置.
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A. | $\sqrt{6}$ | B. | 3$\sqrt{5}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{8}$ |
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