【题目】在平面直角坐标系中(如图),已知抛物线经过原点,与轴的另一个交点为,顶点为.
(1)求这条抛物线表达式;
(2)将该抛物线向右平移,平移后的新抛物线顶点为,它与轴交点为,联结、,设点的纵坐标为,用含的代数式表示的正切值;
(3)联结,在(2)的条件下,射线平分,求点到直线的距离.
【答案】(1);(2);(3)6
【解析】
可设顶点式解析式,把点代入,求得a,从而得抛物线的解析式;
画图,把放到直角三角形中来考虑,分别用点P、点H、点B的相关坐标来表示这个直角三角形中的直角边长即可求解;
设PB与x轴交于点M,求出点A坐标,利用点P坐标,得出AP长度,利用角平分线即轴,推得,从而得出AP和AM的长度;
求出直线PB得解析式,从而求得点B的坐标,进而求出BH的长度,再利用角平分线的性质定理即可得点B到直线AP的距离就等于BH的长度.
解:设抛物线表达式为:
把代入得,
抛物线的表达式:.
设PQ与y轴交点为H.
,,
,,
在中,.
故的正切值为:.
设PB与x轴交于点M.
由得点A坐标为.
又,
.
射线PB平分,
.
轴,,
,
,
.
设直线PB为,把点,代入,得:,
点B为.
.
射线PB平分,,
点B到直线AP的距离为6.
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【题目】某中学就“戏曲进校园”活动的喜爱情况进行了随机调查,对收集的信息进行了统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:(图中表示“很喜欢”,表示“喜欢”,表示“一般”,表示“不喜欢”)
(1)被调查的总人数是_________,扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为_________;
(2)补全条形统计图;
(3)在抽取的类5人中,刚好有甲、乙、丙3个女生和丁、戊2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用画树状图或列表法求出抽到的两个学生性别不相同的概率.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. 一个游戏的中奖概率是10%,则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 为了解全国中学生的心理健康情况,应该采用普查的方式
C. 若甲组数据的方差S甲2=0.01,乙组数据的方差S乙2=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定
D. 一组数据8,3,7,8,8,9,10的众数和中位数都是8
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【题目】如图,点O是正方形ABCD两条对角线的交点,分别延长CO到点G,OC到点E,使OG=2OD、OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG.
(1)如图1,若正方形OEFG的对角线交点为M,求证:四边形CDME是平行四边形.
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转,得到正方形OE′F′G′,如图2,连接AG′,DE′,求证:AG′=DE′,AG′⊥DE′;
(3)在(2)的条件下,正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N,如图3,设旋转角为α(0°<α<180°),若△AON是等腰三角形,请直接写出α的值.
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【题目】如图,在矩形中,,点E是边上的动点,将矩形沿折叠,点A落在点处,连接.
(1)如图,求证:;
(2)如图,若点恰好落在上,求的值;
(3)点E在边上运动的过程中,的度数是否存在最大值,若存在,求出此时线段的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知,A、B、C、D是反比例函数y=(x>0)图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数),分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成四个橄榄形(阴影部分),则这四个橄榄形的面积总和是__________(用含π的代数式表示).
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【题目】已知是边长为4的等边三角形,点D是射线BC上的动点,将AD绕点A逆时针方向旋转得到AE,连接DE.
(1).如图,猜想是_______三角形;(直接写出结果)
(2).如图,猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系,并证明你的结论;
(3).①当BD=___________时,;(直接写出结果)
②点D在运动过程中,的周长是否存在最小值?若存在.请直接写出周长的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】老师布置了一个作业,如下:已知:如图1的对角线的垂直平分线交于点,交于点,交于点.求证:四边形是菱形.
某同学写出了如图2所示的证明过程,老师说该同学的作业是错误的.请你解答下列问题:
(1)能找出该同学错误的原因吗?请你指出来;
(2)请你给出本题的正确证明过程.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.
(1)当正方形PQMN的边MN经过点B时,t= 秒;
(2)在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式;
(3)连结BN,则BN的最小值为 .
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