Question

6．如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在△ABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S₁，正方形PMNQ的面积为S₂．①AD：AB=1：2；②AP：AB=1：3；③S₁+S₂＞S；④设在△ABC内任意截取一个正方形的面积为S₃，则S₃≤S₁．上述结论中正确的是①②④．

Answer 1

分析 ①如图1：根据等腰三角形的性质求解；
②图2：同图1的证法；
③由（1）得出的AB、AD、AP、AB的关系，然后用a表示出AB、AD、AP的值，这样就能表示出S₁、S₂和S，然后进行比较即可；
④结合③，即可求得答案．

解答 解：①图1中，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADFE是正方形，
∴AD=DF，∠B=45°，
∴DF=DB，
∴AD=DB，
∴AD：AB=1：2；故正确；
②图2中，同理：PM=MN，∠B=45°，
∴PM=MB，
∴MN=MB，
∴MN=MB=NC，
∴AP：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；故正确；
③图1中，S₁=（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$a²，
∵PQ：BC=AP：AB=1：3，
∴PQ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
∴S₂=（$\frac{\sqrt{2}}{3}$a）²=$\frac{2}{9}$a²，
∴S₁+S₂=（$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{9}$）a²=$\frac{17}{36}$a²，
∵S=$\frac{1}{2}$a²=$\frac{18}{36}$a²，
∴S₁+S₂＜S；故错误；
④由③可得：在△ABC内任意截取一个正方形的面积为S₃，则S₃≤S₁；故正确．
故答案为：①②④．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握面积的求解方法是关键．