Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为BC上两点，∠DAE=45°，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF、EF．
（1）求证：FB⊥BD；
（2）若FB=4=BD，求DE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）先证出∠BAF=∠CAE，再证明△ABF≌△ACE，证出∠ABF=∠C=45°，即可证出FB⊥BD；
（2）先求出DF=4

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，再证明△ADE≌△ADF，即可得出DE=DF=4

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．

解答：解：（1）证明：∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，AB=AC，
∴∠BAD+∠CAE=45°，∠ABC=∠C=45°，
∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，
∴∠DAF=45°，
∴∠BAF+∠BAD=45°，
∴∠BAF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，

AF=AE amp;  ∠BAF=∠CAE amp;  AB=AC amp;

∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF=∠C=45°，
∴∠FBD=90°，
即FB⊥BD；
（2）∵∠FBD=90°，FB=BD=4，
∴DF=4

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，
在△ADE和△ADF中，

AE=AF amp;  ∠DAE=∠DAF amp;  AD=AD amp;

∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF=4

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．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．