Question

如图，Rt△AOB中，∠A=90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA=2，AB=8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．
（1）填空：直线OC的解析式为______；抛物线的解析式为______；
（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；
①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；
②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

（1）∵OA=2，AB=8，点C为AB边的中点
∴点C的坐标为（2，4）点，
设直线的解析式为y=kx
则4=2k，解得k=2
∴直线的解析式为y=2x，
设抛物线的解析式为y=kx²
则4=4k，解得k=1
∴抛物线的解析式为y=x²

（2）设移动后抛物线的解析式为y=（x-m）²+2m
当OD=BC，四边形BDOC为平行四边形，
∴OD=BC=4，
①则可得x=0时y=4，
∴m²+2m=4，
∴（m+1）²=5
解得m=-1+

5

，m=-1-

5

（舍去），
所以m=-1+

5

y=(x+1-

5

)2+2×（-1+

5

）
=(x+1-

5

)2-2+2

5

，
②∵BE=8-[（2-m）²+2m]
=4+2m-m²
∴S_△BOE=

1

2

BE•OA
=

1

2

（4+2m-m²）×2
=-m²+2m+4
=-（m-1）²+5，
而0≤m≤2，
所以4≤S≤5．