Question

如图，△ABC为圆O的内接三角形，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△ABE与△ADB的三个内角相等，故△ABE∽△ADB，进而可得；代入数据可得答案．
（2）连接OA，根据勾股定理可得BF=BO=AB；易得∠OAF=90°，故可得直线FA与⊙O相切．
解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，（3分）
∴，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2．（5分）

（2）解：直线FA与⊙O相切．（6分）
理由如下：
连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=，
∴BF=BO=．
∵AB=2，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°．
∴直线FA与⊙O相切．（8分）
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定及相似三角形证明与性质的运用，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．