【题目】已知抛物线(为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;
(2)设是(1)所确定的抛物线上位于轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过作轴的平行线,交抛物线于另一点,再作轴于,轴于.
①当时,求矩形的周长;
②试问矩形的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时点的坐标.如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-3x;(2)①6;②存在;最大值为,此时A(,)
【解析】
(1)将原点坐标代入抛物线的解析式中,即可求出n的值,然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n值舍去,即可得出所求的二次函数解析式;
(2)①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标,根据抛物线和矩形的对称性可知:OB的长,就是OE与BC的差的一半,由此可求出OB的长,即B点的坐标,然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标,也就得出了矩形AB边的长.进而可求出矩形的周长;
②可设出A点坐标(设横坐标,根据抛物线的解析式表示纵坐标),也就能表示出B点的坐标,即可得出OB的长,同①可得出BC的长,而AB的长就是A点纵坐标的绝对值,由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式,根据函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标.
解:(1)由已知条件,得n2-1=0,
解这个方程,得n1=1,n2=-1,
当n=1时,得y=x2+x,此抛物线的顶点不在第四象限,
当n=-1时,得y=x2-3x,此抛物线的顶点在第四象限,
∴所求的函数关系为y=x2-3x;
(2)由y=x2-3x,
令y=0,得x2-3x=0,
解得x1=0,x2=3,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),
∴它的顶点为(,),对称轴为直线x=,其大致位置如图所示,
①∵BC=1,易知OB=×(3-1)=1,
∴B(1,0),
∴点A的横坐标x=1,又点A在抛物线y=x2-3x上,
∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2.
∴AB=|y|=|-2|=2,
∴矩形ABCD的周长为:2(AB+BC)=2×(2+1)=6;
②∵点A在抛物线y=x2-3x上,故可设A点的坐标为(x,x2-3x),
∴B点的坐标为(x,0)(0<x<)
∴BC=3-2x,A在x轴下方,
∴x2-3x<0,
∴AB=|x2-3x|=3x-x2
∴矩形ABCD的周长,
C=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-)2+,
∵a=-2<0,抛物线开口向下,二次函数有最大值,
∴当x=时,矩形ABCD的周长C最大值为,
此时点A的坐标为A(,).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2019年4月22日是第50个世界地球日,某校在八年级5个班中,每班各选拔10名学生参加“环保知识竞赛”并评出了一、二、三等奖各若干名,学校将获奖情况绘成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图,请你根据图中信息解答下列问题:
(1)求本次竞赛获奖的总人数,并补全条形统计图;
(2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数;
(3)如果该校八年级有800人,请你估计获奖的同学共有多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一块长5米宽4米的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度;
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,O)、C(3,0),点B为抛物线顶点,直线BD为抛物线的对称轴,点D在x轴上,连接AB、BC.
⑴如图1,若∠ABC=60°,则点B的坐标为______________;
⑵如图2,若∠ABC=90°,AB与y轴交于点E,连接CE.
①求这条抛物线的解析式;
②点P为第一象限抛物线上一个动点,设△PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关系武,并求出S的最大值;
③如图3,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,若存在请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
(1)试求A,B,C的坐标;
(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD.3
①求点D的坐标;
②判断四边形ADBC的形状,并说明理由;
(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP与△BAD相似?若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,∠MON=90°,已知△ABC中,AC=BC=AB=6,△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,△ABC的形状始终保持不变,在运动的过程中,点C到点O的距离为整数的点有( )个.
A.5B.6C.7D.8
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,点D为△ABC内一点,BD=CD,∠ABD+∠ADC=180°,若AD=2,则AC的长为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,已知:点 ,点 ,点 ,在 内依次作等边三角形,使一边在 轴上,另一个顶点在 边上,作出的等边三角形分别是第 个 ,第 个 ,第 个 , ,则第 个等边三角形的边长等于 ________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,以△ABC的边AB为直径作⊙O,点C在⊙O上,BD是⊙O的弦,∠A=∠CBD,过点C作CF⊥AB于点F,交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)求证:CG=BG;
(3)若∠DBA=30°,CG=8,求BE的长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com