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【题目】已知抛物线为常数).

1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;

2)设是(1)所确定的抛物线上位于轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过轴的平行线,交抛物线于另一点,再作轴于轴于.

①当时,求矩形的周长;

②试问矩形的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时点的坐标.如果不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2-3x;(2)①6;②存在;最大值为,此时A

【解析】

1)将原点坐标代入抛物线的解析式中,即可求出n的值,然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n值舍去,即可得出所求的二次函数解析式;
2)①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标,根据抛物线和矩形的对称性可知:OB的长,就是OEBC的差的一半,由此可求出OB的长,即B点的坐标,然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标,也就得出了矩形AB边的长.进而可求出矩形的周长;
②可设出A点坐标(设横坐标,根据抛物线的解析式表示纵坐标),也就能表示出B点的坐标,即可得出OB的长,同①可得出BC的长,而AB的长就是A点纵坐标的绝对值,由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式,根据函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标.

解:(1)由已知条件,得n2-1=0
解这个方程,得n1=1n2=-1
n=1时,得y=x2+x,此抛物线的顶点不在第四象限,
n=-1时,得y=x2-3x,此抛物线的顶点在第四象限,
∴所求的函数关系为y=x2-3x

2)由y=x2-3x
y=0,得x2-3x=0
解得x1=0x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为(30),
∴它的顶点为(),对称轴为直线x=,其大致位置如图所示,
①∵BC=1,易知OB=×3-1=1
B10),
∴点A的横坐标x=1,又点A在抛物线y=x2-3x上,
∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2
AB=|y|=|-2|=2
∴矩形ABCD的周长为:2AB+BC=2×2+1=6
②∵点A在抛物线y=x2-3x上,故可设A点的坐标为(xx2-3x),
B点的坐标为(x0)(0x
BC=3-2xAx轴下方,
x2-3x0
AB=|x2-3x|=3x-x2
∴矩形ABCD的周长,
C=2[3x-x2+3-2x]=-2x-2+
a=-20,抛物线开口向下,二次函数有最大值,
∴当x=时,矩形ABCD的周长C最大值为

此时点A的坐标为A).

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②点P为第一象限抛物线上一个动点,设△PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关系武,并求出S的最大值;

③如图3,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,若存在请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

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