Question

【题目】如图，已知抛物线（a≠0）交x轴与A，B两点（点A在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CEF的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在一点P（1，），使得△ACP的面积最大，面积的最大值为；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）∵S△CEF=EFyC=×2m=6，∴m=6，即点C的坐标为（4，6），将点C（4，6）代入抛物线（a≠0）中，得：6=16a+8+6，解得：a=，∴该抛物线的解析式为；

（2）假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N，如图1所示．

令抛物线中y=0，则有，解得：，，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，）（﹣2＜n＜4），∵直线AC过点A（﹣2，0）、C（4，6），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+2．

∵点P的坐标为（n，），∴点N的坐标为（n，n+2）．

∵S△ACP=PN（xC﹣xA）==，∴当n=1时，S△ACP取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（1，），∴在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使得△ACP的面积最大，面积的最大值为，此时点P的坐标为（1，）．

（3）∵直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，∴设直线CD的解析式为y=﹣x+c，∵点C（4，6）在直线CD上，∴6=﹣4+c，解得：c=10，∴直线CD的解析式为y=﹣x+10．

联立直线CD与抛物线解析式成方程组：，解得：，或，∴点D的坐标为（2，8）．

令直线CD的解析式y=﹣x+10中y=0，则0=﹣x+10，解得：x=10，即点E的坐标为（10，0），∵EF=2，且点E在点F的左边，∴点F的坐标为（12，0）．

设点M的坐标为（12﹣2t，0），则点N的坐标为（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．

∵点N（10﹣2t，2）在抛物线的图象上，∴，整理得：，解得：，，∴当t为或秒时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．