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16.如图,矩形纸片AOCB,以点O为坐标原点,分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系,折叠纸片,使点C与点A重合,点B落在点B′处,折痕为EF,若顶点B的坐标为(9,3),求点E、F、B′的坐标.

分析 过E作EG⊥OC,根据点B的坐标可求出OA=BC=3,OC=AB=9,设OF=x,在Rt△AOF中利用勾股定理可求出OF的长,进而可求出CF的长,可得点F坐标,同理在Rt△AEB′中利用勾股定理可求出AE的长,进而可求出BE的长,得出OG的长,可得点E坐标,证△B'AH∽△AFO,根据对应边成比例得B'H=$\frac{9}{5}$、AH=$\frac{12}{5}$,可得点B'坐标.

解答 解:过E作EG⊥OC,

∵点B的坐标为(9,3),
∴OA=BC=3,OC=AB=9,
设OF=x,则AF=CF=9-x,
在Rt△AOF中,AF2=OA2+OF2,即(9-x)2=32+x2,解得x=4,
∴点F坐标为(4,0),
同理,设B′E=x,则AE=9-x,在Rt△AEB′中,
AE2=AB′2+B′E2,即(9-x)2=32+x2,解得x=4,即BE=4,
∴OG=AE=AB-BE=5,
∴E点坐标为(5,3).
过点B'作B'H⊥y轴于点H,
∵∠B'AF=90°,∠B'HA=∠AOF=90°,
∴∠B'AH=∠AFO,
∴△B'AH∽△AFO,
∴$\frac{B'H}{AO}=\frac{AH}{OF}=\frac{AB'}{FA}$,即$\frac{B'H}{3}=\frac{AH}{4}=\frac{3}{5}$,
解得:B'H=$\frac{9}{5}$,AH=$\frac{12}{5}$,
则OH=AO+AH=3+$\frac{12}{5}$=$\frac{27}{5}$,
故点B'的坐标为($\frac{9}{5}$,$\frac{27}{5}$).

点评 本题考查的是图形翻折变换的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.

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