Question

已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x²+mx+5=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=3，AB=5，求cosA．

Answer 1

分析：根据AC为关于x的一元二次方程x²+mx+5=0的两个正整数根之一，利用根与系数的关于，以及三角形的三边关系定理即可确定AC的范围，从而求得AC的长，然后分情况讨论，依据余弦函数的定义即可求解．

解答：解：∵AC为x²+mx+5=0的两个正整数根之一，则两根的积是5，
∴AC≤5，
∵BC=3，AB=5，
∴5-3＜AC＜5+3，即2＜AC＜8，
∴2＜AC≤5，
∴AC=3或4或5．
作CD⊥AB于点D，如图1，
AC=3时，AC=BC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×5=

5

2

，cosA=

AD

AC

=

5 2

3

=

5

6

；
当AC=4时，△ABC是直角三角形，∠C=90°，则cosA=

AC

AB

=

4

5

；
当AC=5时，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，如图2．
则CE=

1

2

BC=

3

2

，
在直角△ACE中，AE=

AC2-CE2

=

91

2

，
∵2S_ABC=AE•BC=AB•CD，
∴CD=

AE•BC

AB

=

3× 91 2

5

=

3 91

10

，
∴AD=

AC2-CD2

=

1681

10

，
∴cosA=

AC

AB

=

1681 10

5

=

1681

50

．

点评：本题考查了余弦函数的定义，以及三角形的三边关系，正确求得当AC=5时的三角函数值是关键．