Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0；（2）-4a＜b＜-2a（3）abc＞0；（4）5a-b+2c＜0； 其中正确的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：由抛物线开口向上得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，即b小于0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc的符合，对于（3）作出判断；由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a大于0，得到-2a小于0，在不等式两边同时乘以-2a，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x=-1时对应的函数值大于0，将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c大于0，又4a大于0，c大于0，可得出a-b+c+4a+c大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．
解答：解：由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误；
又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）错误；
∵对称轴在1和2之间，
∴1＜-＜2，又a＞0，
∴在不等式左右两边都乘以-2a得：-2a＞b＞-4a，故（2）正确；
又x=-1时，对应的函数值大于0，故将x=1代入得：a-b+c＞0，
又a＞0，即4a＞0，c＞0，
∴5a-b+2c=（a-b+c）+4a+c＞0，故（4）错误，
综上，正确的有1个，为选项（2）．
故选A
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决问题．