Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，四边形DEFG为内接于△ABC的正方形，AG、AF交DE于点M、N，若$\frac{AB}{AC}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，求DM：MN：NE．

Answer 1

分析 根据四边形DEFG为正方形，得到DG=GF=EF，BE∥GF，根据相似三角形的性质得到$\frac{DM}{BG}$=$\frac{AM}{AG}$，$\frac{NM}{GF}$=$\frac{AM}{AG}$=$\frac{AN}{AF}$，$\frac{AN}{AF}$=$\frac{EN}{CF}$，等量代换得到$\frac{DM}{BG}$=$\frac{MN}{GF}$=$\frac{NE}{CF}$，推出DM：MN：NE=BG：GF：CF，根据相似三角形的性质得到$\frac{BG}{DG}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，同理$\frac{EF}{CF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，于是得到结论．

解答 解：∵四边形DEFG为正方形，
∴DG=GF=EF，BE∥GF，
∴△ADM∽△ABG，△AMN∽△AGF，△ANE∽△ACF，
∴$\frac{DM}{BG}$=$\frac{AM}{AG}$，$\frac{NM}{GF}$=$\frac{AM}{AG}$=$\frac{AN}{AF}$，$\frac{AN}{AF}$=$\frac{EN}{CF}$，
∴$\frac{DM}{BG}$=$\frac{MN}{GF}$=$\frac{NE}{CF}$，
∴DM：MN：NE=BG：GF：CF，
∵∠DGB=∠BAC=90°，∠B=∠B，
∴△DBG∽△ABC，
∴$\frac{BG}{DG}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，
同理$\frac{EF}{CF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，
∴$\frac{BG}{GF}$=$\frac{GF}{CF}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，
∴DM：MN：NE=BG：GF：CF=x⁴：x²y²：y⁴．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．