Question

在正方形ABCD中，E是AD的中点，AH⊥BE于点H，CH交AD于点F，EF=1，求正方形的边长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：利用条件可以证明△AHE∽△BHA，且且AB=2AE，设EH=a，则有HA=2a，HB=4a，结合EF∥BC，代入对应边的比例式可求得BC的长，即可求得正方形的边长．

解答：
解：设EH=a，
∵AH⊥BE，且∠BAE=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，∠EAH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠EAH，且∠AHB=AHE=90°，
∴△AHE∽△BHA，且AB=2AE，
∴

AE

AB

=

EH

AE

=

AH

BH

=

1

2

，
∴HA=2a，HB=4a，
∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

EH

BH

=

1

4

，
∵EF=1，
∴BC=4，即正方形的边长为4．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似找到AH和BH之间的关系，再利用平行线分线段成比例的性质求得．