Question

【题目】在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F．

（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．

求证：∠EAB=∠GHC；

（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．

①依题意补全图形；

图1 备用图

②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①补全图形，如图所示．②．详见解析

【解析】

（1）根据正方形的性质，有AD∥BC，∠BAD=90°，得到∠AGH=∠GHC，再根据GH⊥AE，得到∠EAB=∠AGH，即可证明．

（2）①根据垂直平分线的作法步骤进行即可．

②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q，根据正方形的性质，得到NA=NC，∠1=∠2，再根据垂直平分线的性质，得到NA=NE，进而得到NC=NE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，得到∠AQE=∠4，∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°，∠ANE=∠ANQ=90°，最后在Rt△ANE中，即可求解．

（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，

∴∠AGH=∠GHC．

∵GH⊥AE，

∴∠EAB=∠AGH．

∴∠EAB=∠GHC．

（2）①补全图形，如图所示．

②．

证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．

∵四边形ABCD是正方形，

∴点A，点C关于BD对称．

∴NA=NC，∠1=∠2．

∵PN垂直平分AE，

∴NA=NE．

∴NC=NE．

∴∠3=∠4．

在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，

∴∠AQE=∠4．

∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．

∴∠ANE=∠ANQ=90°．

在Rt△ANE中，

∴．